Краткое резюме
fazer + инфинитив = заставить, вызвать: Ele me fez chorar. (Он заставил меня плакать.) Это твоё заставлять + инфинитив, слово в слово.
mandar + инфинитив = велеть или поручить кому-то безымянному: Mandei consertar o carro. (Я отдал машину в ремонт.)
deixar + инфинитив = разрешить, дать: Meus pais não me deixam sair. (Родители не разрешают мне выходить.)
ver / ouvir / sentir + инфинитив = действие целиком; + герундий = действие в процессе: Vi ela sair (я видел, как она вышла) против Vi ela saindo (я видел, как она выходила) — ровно твоя пара по виду.
В речи дополнение выходит местоимением в форме подлежащего — Vi ela sair, Mandei ele sair, — а письменная норма ставит клитику: Vi-a sair, Mandei-o sair.
Книжный вариант — полноценное придаточное с сослагательным наклонением: Fiz com que ele entendesse. (Я добился, чтобы он понял.) После fazer com que сослагательное обязательно.
Deixa eu ver (дай посмотрю) и Deixa eu falar (дай скажу) — застывшие бытовые обороты; норма написала бы Deixe-me ver, но так никто не говорит.