Краткое резюме
Тот же — прилагательное, согласуется, обычно после артикля: o mesmo problema (та же проблема), as mesmas pessoas (те же люди).
Сам — усиление, согласуется с лицом: Eu mesmo fiz. (Я сам сделал.) · Ela mesma disse. (Она сама сказала.) Твоё сам тоже меняет форму — сама, сами, — так что этот перенос бесплатный.
Действительно — неизменяемое, обычно стоит после глагола или выражения, которое усиливает: Gostei mesmo! (Мне правда понравилось!) · É mesmo? (Правда?) С выражениями времени может соответствовать твоему же.
Даже — неизменяемое, перед тем, что уступает: Mesmo assim, eu vou. (Всё равно пойду.) · nem mesmo (даже не).
mesmo que + сослагательное наклонение = даже если, хотя бы и: Mesmo que chova, eu vou. (Даже если будет дождь, я пойду.)
Вся система в одной строке: согласуется в значениях «тот же» и «сам», застывает в значениях «действительно» и «даже».